寓言故事中的一次函数

在中国古老的故事中存在着一些函数关系问题，故事与函数的交融，形成了故事海洋中一道亮丽的风景线。

　　一、乌鸦喝水

例1 你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水.但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了. 如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为 y,下面能大致表示上面故事情节的图象是().

解析:整个过程分为四个阶段:①水面上升; ②水面下降; ③水面再次上升; ④水面再次下降. 能和这四个阶段基本吻合的是选项B.

例2 小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作.

请根据图中给出的信息,解答下列问题:

(1)放入一个小球量筒中水面升高cm;

(2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);

(3)量筒中至少放入几个小球时有水溢出?

分析:本题可以采用两种方法求解, 第一种是算术方法,即没有球放入时水面高为30cm,也就是原来高为30cm,当放入3个球水位增长了6cm,从而就可以求出放入一个小球量筒中水面升高的量为2cm;当放入x个球时,水位升高了2xcm,故y=30+2x. 第二种是运用转化思想转化成点的坐标的形式,即无球时水面高30cm,就是点(0,30), 3个球时水面高为36cm,就是点(3,36), 采用待定系数法从而求出y与x的函数关系式.

解:(1)2.

(2)设y=kx+b,把(0, 30),(3, 36)代入得:b=303k+b=36.解得k=2,b=30.即y=2x+30.

(3)由2x+30>49,得x>9.5,

所以至少要放入10个小球时才有水溢出.

　　二、龟兔赛跑

例3“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉. 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点. 用S、S分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是().

解析:当乌龟到达终点时,此时兔子仍在追赶的路上,所以符合题意的选项应该选D.

例4“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事,如图所示表示路程S(米)与时间t(分)的关系,那么知道:①赛跑中,兔子共睡了 分钟;②乌龟在这次赛跑中的平均速度为 米/分钟.

解析:①由图象可知,兔子睡觉时间就是在图象上平行于t轴的一条线段所对应的时间差, 即50-10=40(分). ②乌龟爬完全程所用时间为50分种,共爬行了500米,所以乌龟的平均速度为500÷50=10(米/分).

例5 新龟兔赛跑:兔子失败后吸取了教训,分析了失败的原因是因为自己太轻敌,太骄傲了,准备争口气回来. 这次举行的是100米赛跑,兔子让乌龟先跑30米,然后自己才开始跑,已知乌龟每分钟跑10米,兔子每分钟跑15米,(列出函数关系式,作出函数图象,观察函数图象)回答下列问题:

(1)何时乌龟跑在兔子前面?

(2)何时兔子跑在乌龟前面?

(3)兔子是否能追上乌龟?什么时候?

(4)谁先跑过100米?

解:设乌龟所跑的路程为y米,兔子所跑的路程为y米, 跑的时间为t分.

函数关系式分别为:乌龟:y=30+10t,兔子:y=15t.

函数图象如右图:

(1)当y=y时,有30+10t=15t.所以t=6(分),故当0　　(2)把y=100代入y得100=30+10t,所以t=7(分),故当6　　(3)能,在时间为第6分钟时.

(4)把y=100代入y得100=15t,所以t=≈6.7(分),故兔子先跑过100米.